证明数列收敛（证明数列收敛的步骤）

本文目录一览：

1、证明数列收敛的三种方法


2、高数证明数列收敛并求极限


3、如何判断一个数列是否收敛?

证明数列收敛的三种方法
证明数列收敛的方法：数列收敛是设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得nN时，恒有|Xn-a|q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a）。
求数列的极限，如果数列项数n趋于无穷时，数列的极限能一直趋近于实数a，那么这个数列就是收敛的；如果找不到实数a，这个数列就是发散的。看n趋向无穷大时，Xn是否趋向一个常数，可是有时Xn比较复杂，并不好观察。
直接对数列进行取极限，小于1的分式的无穷次方为0，数列收敛于4。
判断单调性：如果函数单调递增或者单调递减，并且无界，则函数发散。如果函数单调递增或者单调递减，并且有界，则函数收敛。判断极限：如果函数的极限存在且有限，则函数收敛。
高数证明数列收敛并求极限
1、思路：如果是我做的话，题目要证有极限，说明这个数列有极限。所以先求出理论极限3。然后看一看用什么东西可以证明有极限的。显然在不知道通项公式的情况下，很多方法都用不了。只能用有界单调。
2、首先可以看到xn必定小于2。然后将2带入，知道xn+1小于5/3。继续带直到得到xn小于89/5现在就可以证明xn^2-xn1了。然后知道是单调增的上有界，所以数列收敛。求就简单了。
3、当an 1/2(√(1+an) +1)时，an+1 = 根号(a+ “an) 根号(a+ 1/2(√(1+an) +1)) =1/2(√(1+an) +1)所以 an有上界1/2(√(1+an) +1)根据单调有界定理知，an收敛。
4、a1=1 a2=√(1/(1+1))=√2/2你说是递增还是递减。不能用函数导数来解释数列。
5、通项an约去n后，分子积的首尾对称地结合成对，an≤1/2^(n-1)，级数和＜1+1/2+1/4+1/8+…＜1 。所以所求的极限=0。也可以直接证明通项an极限是0，不用这么拐弯抹角。
如何判断一个数列是否收敛?
判断单调性：如果函数单调递增或者单调递减，并且无界，则函数发散。如果函数单调递增或者单调递减，并且有界，则函数收敛。判断极限：如果函数的极限存在且有限，则函数收敛。如果函数的极限不存在或者是无穷大，则函数发散。
先看级数通项是不是趋于0。正项级数用比值审敛法，比较审敛法等。1/n！1/(n(n-1))=1/(n-1)-1/n Sn1+1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n=2-1/n2 所以1/n！ 收敛。
极限存在的数列一定是收敛数列，收敛的数列{xn}，在n→∞时，xn→A，这个A是一个固定的极限值，是一个常数，所以必然有界。但这个有界不是说上下界都有，只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。
数列收敛的定义：如果数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得nN时，不等式|Xn-a|。
(1)如果数列{an}收敛于a，则对任意给定的正数ε，an 最多只有有限项落在以a为中心，ε为半径的邻域U(a，ε)外。
看n趋向无穷大时，Xn是否趋向一个常数，即可以判断收敛还是发散。